[Geometria Espacial] Medida do diedro de um triedro

Dom 03 Jun 2018, 20:01

160) Dois diedros de um triedro medem respectivamente 60º e 110º. Dê o intervalo de variação da medida do terceiro diedro.

Dom 03 Jun 2018, 20:48

DanielFerreira escreveu:160) Dois diedros de um triedro medem respectivamente 60º e 110º. Dê o intervalo de variação da medida do terceiro diedro.

Vimos que: a soma dos diedros de um triedro está compreendida entre 180º e 540º. Com isso, fazemos:

$\\ \mathsf{180^o < di(a) + di(b) + di(c) < 540^o} \\\\ \mathsf{180^o < 60^o + 110^o + di(c) < 540^o} \\\\ \mathsf{180^o < 170^o + di(c) < 540^o} \\\\ \boxed{\mathsf{10^o < di(c) < 370^o}} \qquad \qquad \qquad \mathsf{(i)}$

Além disso, na definição de triedros polares que:

Cada face de um diedro é o suplemento da secção normal do diedro oposto no polar.

Portanto,

$\begin{cases} \mathsf{di(a) + f_a = 180^o}\\ \mathsf{di(b) + f_b = 180^o} \\ \mathsf{di(c) + f_c = 180^o}\end{cases} \\\\\\ \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{f_a = 180^o - di(a)}\\ \mathsf{f_b = 180^o - di(b)} \\ \mathsf{f_c = 180^o - di(c)}\end{cases}$

Por conseguinte, sabemos que:

Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas. Isto implica que:

$\mathsf{|f_b - f_a| < f_c < f_a + f_b}$

Daí,

$\\ \mathsf{|f_b - f_a| < f_c < f_a + f_b} \\\\ \mathsf{\left | [180^o - di(b) ] - [180^o - di(a) ] \right | < 180^o - di(c) < [180^o - di(a)] + [180^o - di(b) ]} \\\\ \mathsf{| di(a) - di(b) | < 180^o - di(c) < 360^o - di(a) - di(b)} \\\\ \mathsf{|60^o - 110^o| < 180^o - di(c) < 360^o - 60^o - 110^o} \\\\ \mathsf{50^o < 180^o - di(c) < 190^o} \\\\ \mathsf{- 130^o < - di(c) < 10^o}$

$\boxed{\mathsf{- 10^o < di(c) < 130^o}} \qquad \qquad \qquad \mathsf{(ii)}$

Por fim, de (i) e (ii), teremos:

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{10^o < di(c) < 130^o}}}}$

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