[Geometria Espacial] Triedro

Dom 03 Jun 2018, 12:56

Prove que, em qualquer triedro, a medida de um diedro (em graus) aumentada em 180º supera a soma dos outros dois.

Dom 03 Jun 2018, 13:30

DanielFerreira escreveu:Prove que, em qualquer triedro, a medida de um diedro (em graus) aumentada em 180º supera a soma dos outros dois.

Sejam $\mathsf{di(a), di(b)}$ e $\mathsf{di(c)}$ três diedros de um triedro. Provemos que $\mathsf{di(a) + 180^o > di(b) + di(c)}$ .

Sabemos que as medidas (em graus) dos diedros são suplementares às medidas das respectivas faces opostas no polar. Desse modo, tome $\mathsf{f_a, f_b, f_c}$ como sendo tais faces. Assim, teremos:

$\begin{cases} \mathsf{f_a = 180^o - di(a)} \\ \mathsf{f_b = 180^o - di(b)} \\ \mathsf{f_c = 180^o - di(c)}\end{cases}$

Por conseguinte, uma vez que em qualquer diedro, a medida de um diedro é menor que a soma das medidas dos outros dois, concluímos que:

$\\ \mathsf{f_a < f_b + f_c} \\\\ \mathsf{180^o - di(a) < [180^o - di(b)] + [180^o - di(c)]} \\\\ \mathsf{180^o - di(a) < 360^o - di(b) - di(c)} \\\\ \mathsf{- 180^o - di(a) < - di(b) - di(c)} \\\\ \boxed{\mathsf{di(a) + 180^o > di(b) + di(c)}}$

De maneira análoga, provamos que:

$\\ \bullet \quad \mathsf{di(b) + 180^o > di(a) + di(c)} \\\\ \bullet \quad \mathsf{di(c) + 180^o > di(a) + di(b)}$

Como queríamos demonstrar

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