[Geometria Espacial] Soma da medida de dois diedros de um triedro

Dom 03 Jun 2018, 20:04

159) Se um diedro de um triedro é reto, entre que valores deve estar a soma das medidas dos outros dois diedros?

Dom 03 Jun 2018, 20:17

DanielFerreira escreveu:159) Se um diedro de um triedro é reto, entre que valores deve estar a soma das medidas dos outros dois diedros?

De acordo com o enunciado,

$\mathsf{di(a) = 90^o}$

Sabemos que:

Em qualquer triedro, a medida de um diedro aumentada de 180º supera a soma das medidas dos outros dois.

Isto posto,

$\\ \mathsf{di(a) + 180^o > di(b) + di(c)} \\\\ \mathsf{90^o + 180^o > di(b) + di(c)} \\\\ \mathsf{270^o > di(b) + di(c)} \\\\ \boxed{\mathsf{di(b) + di(c) < 270^o}} \qquad \qquad (*)$

Ademais, sabemos que:

Em qualquer triedro, a soma das medidas dos diedros está compreendida entre 2 e 6 ângulos retos.

$\\ \mathsf{2 \cdot r < di(a) + di(b) + di(c) < 6 \cdot r}$

Onde r é o ângulo reto.

Segue,

$\\ \mathsf{2 \cdot r < di(a) + di(b) + di(c) < 6 \cdot r} \\\\ \mathsf{2 \cdot 90^o < 90^o + di(b) + di(c) < 6 \cdot 90^o} \\\\ \mathsf{180^o < 90^o + di(b) + di(c) < 540^o} \\\\ \mathsf{- 90^o + 180^o < - 90^o + 90^o + di(b) + di(c) < - 90^o + 540^o} \\\\ \boxed{\mathsf{90^o < di(b) + di(c) < 450^o}} \qquad \qquad (**)$

Por fim, de (*) e (**) concluímos que:

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{90^o < di(b) + di(c) < 270^o}}}}$

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