[Geometria Espacial] Triângulos equiláteros que formam um diedro

Sex 01 Jun 2018, 20:39

ABC e DBC são dois triângulos equiláteros que têm um lado comum BC, e cujos planos formam um diedro de 120º. Sabendo que o lado desses triângulos tem medidas iguais a m, calcule o segmento AD e a distância do ponto D ao plano ABC.

Dom 03 Jun 2018, 22:21

DanielFerreira escreveu:ABC e DBC são dois triângulos equiláteros que têm um lado comum BC, e cujos planos formam um diedro de 120º. Sabendo que o lado desses triângulos tem medidas iguais a m, calcule o segmento AD e a distância do ponto D ao plano ABC.

[Geometria Espacial] Triângulos equiláteros que formam um diedro Fig13911

De acordo com o enunciado, $\mathsf{A\widehat{H}D = 120^o}$

Note que: $\mathsf{\overline{AH} \equiv \overline{DH}}$

Pois os triângulos ABC e DBC são equiláteros com BC comum.

Para determinar a medida do segmento AD, aplicamos a Lei dos Cossenos no triângulo isósceles AHD. Segue:

Ah! antes disso devemos encontrar quanto mede a altura...

$\\ \mathsf{\overline{AC}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{CH}^2} \\\\ \mathsf{m^2 = \overline{AH}^2 + \left ( \frac{m}{2} \right )^2} \\\\ \mathsf{\overline{AH}^2 = m^2 - \frac{m^2}{4} = \frac{3m^2}{4}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{AH} = \frac{m\sqrt{3}}{2}}}$

Enfim, segue que:

$\\ \mathsf{\overline{AD}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{DH}^2 - 2 \cdot \overline{AH} \cdot \overline{DH} \cdot \cos 120^o} \\\\ \mathsf{\overline{AD}^2 = \frac{3m^2}{4} + \frac{3m^2}{4} - 2 \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})} \\\\ \mathsf{\overline{AD}^2 = \frac{6m^2}{4} + \frac{3m^2}{4} = \frac{9m^2}{4}} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\overline{AD} = \frac{3m}{2}}}}}$

Quanto à distância entre D e o plano determinado pelos pontos A, B e C, temos:

Como o triângulo DEH é retângulo, fazemos:

$\\ \mathsf{\sin 60^o = \frac{\overline{DE}}{\overline{DH}}} \\\\\\ \mathsf{\overline{DE} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\overline{DE} = \frac{3m}{4}}}}}$

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