[Geometria Plana] Círculo de Apolonius

Sáb 02 Mar 2019, 09:37

Em um triângulo ABC, BC = 16 e h = 8 (relativa a BC). Calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima.

a) 2
b) 3
c) 3/2
d) 4/3
e) NRA

Sáb 02 Mar 2019, 12:46

DanielFerreira escreveu:Em um triângulo ABC, BC = 16 e h = 8 (relativa a BC). Calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima.

a) 2
b) 3
c) 3/2
d) 4/3
e) NRA

Inicialmente, desenhe um triângulo qualquer ABC de base BC. Por conseguinte, trace a bissetriz interna e a bissetriz externa do vértice A; considere M o pé da bissetriz interna e N o pé da bissetriz externa.

Sabemos que: as bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice de um triângulo dividem harmonicamente (Divisão Harmônica) o lado oposto na mesma razão dos lados adjacentes.

Ou seja,

$\boxed{\mathtt{\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} = \frac{\overline{NB}}{\overline{NC}} = k}} \qquad \qquad \mathtt{(i)}$

Onde $\mathtt{k \in \mathbb{R_+^*}}$

Ademais, já que $\mathtt{\overline{AM} \perp \overline{AN}}$ e os pontos M e N são conjugados harmônicos do segmento AB na razão k, o círculo de diâmetro MN será o lugar geométrico dos pontos A tais que $\mathtt{\overline{AB}/\overline{AC} = k}$ .

Obs.: o referido círculo de diâmetro MN é conhecido como CÍRCULO DE APOLONIUS!!

Com efeito, de (i) - bissetriz interna:

$\mathsf{\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} = k \Rightarrow \boxed{\mathsf{\overline{MB} = k \cdot \overline{MC}}}}$

Mas, de acordo com o enunciado, $\mathtt{\overline{BC} = 16}$ . Daí,

$\\ \mathsf{\overline{BC} = 16} \\\\ \mathsf{\overline{MB} + \overline{MC} = 16} \\\\ \mathsf{k \cdot \overline{MC} + \overline{MC} = 16} \\\\ \mathsf{\overline{MC} \cdot (k + 1) = 16} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MC} = \frac{16}{k + 1}}}$

Assim,

$\\ \mathsf{\overline{MB} = k \cdot \overline{MC}} \\\\ \mathsf{\overline{MB} = k \cdot \frac{16}{k + 1}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MB} = \frac{16k}{k + 1}}}$

Com efeito, de (i) - bissetriz externa:

$\mathsf{\frac{\overline{NB}}{\overline{NC}} = k \Rightarrow \boxed{\mathsf{\overline{NB} = k \cdot \overline{NC}}}}$

Mas, $\mathtt{\overline{NB} = \overline{BC} + \overline{NC}}$ .

Portanto,

$\\ \mathsf{\overline{NB} = \overline{BC} + \overline{NC}} \\\\ \mathsf{k \cdot \overline{NC} = 16 + \overline{NC}} \\\\ \mathsf{k \cdot \overline{NC} - \overline{NC} = 16} \\\\ \mathsf{\overline{NC} \cdot (k - 1) = 16} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{NC} = \frac{16}{k - 1}}}$

Então, temos que o diâmetro MN é dado por:

$\\ \mathsf{\overline{MN} = \overline{MC} + \overline{NC}} \\\\ \mathsf{\overline{MN} = \frac{16}{k + 1} + \frac{16}{k - 1}} \\\\ \mathsf{\overline{MN} = 16 \cdot \left ( \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k - 1} \right )} \\\\ \mathsf{\overline{MN} = 16 \cdot \frac{k - \cancel{1} + k + \cancel{1}}{k^2 - 1}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MN} = \frac{32k}{k^2 - 1}}}$

Por fim, como a base de um triângulo retângulo é sempre maior ou igual a sua altura, tiramos que:

$\\ \mathsf{\overline{MN} \geq 2h} \\\\\\ \mathsf{\frac{32k}{k^2 - 1} \geq 16} \\\\\\ \mathsf{\frac{2k}{k^2 - 1} - 1 \geq 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{- k^2 + 2k + 1}{k^2 - 1} \geq 0}$

Resolvendo a desigualdade acima concluímos que:

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ k \in \mathbb{R} \, | \, - 1 < k \leq 1 - \sqrt{2} \ \cup \ 1 < k \leq 1 + \sqrt{2} \right \}}}}$

Daí, como k deve ser máximo, temos que:

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{k = 1 + \sqrt{2}}}}}$

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Anexos

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